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自然万物都趋向从有序变得无序

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HDU 6442 GuGu Convolution(组合数学|分治)

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其实我们可以发现最后化简出来(A+B)n=a+b∗B(A+\sqrt B)^n = a + b * \sqrt B

(A−B)n=a−b∗B(A-\sqrt B)^n = a - b * \sqrt B

我们可以得到最后的ans=bBans = b \sqrt B，那么我们只需要算一个b就可以了，这里算b除了上面题解说的那种分治的思想其实还可以用矩阵快速幂计算。

我们假设(A+B)n=an+bnB(A+ \sqrt B)^n = a_n + b_n \sqrt B

那么(A+B)n+1=an+1+bn+1B=(an+bnB)∗(A+B)=(A∗an+bn∗B)+(an+A∗bn)B(A+ \sqrt B)^{n+1} \\ = a_{n+1} + b_{n+1} \sqrt B \\ = (a_n + b_n\sqrt B) \ast (A+\sqrt B)\\ = (A \ast a_n + b_n \ast B) + (a_n + A \ast b_n)\sqrt B

那么就可以构造递推式计算了。

代码一：

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/*************************************************************************
    > File Name: HDU-6442.cpp
    > Author: wood
    > Mail: cbcruel@gmail.com
    > Created Time: 2018年08月26日 星期日 08时49分26秒
 ************************************************************************/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<LL,LL> pr;
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair

inline pr mul(pr a, pr b, LL mod, LL B){
    return mp((a.fi *b.fi % mod + a.se *b.se%mod*B%mod) % mod ,(a.fi *b.se%mod+a.se*b.fi%mod) % mod);
}

pr solve(LL a, LL b, LL B, LL mod,LL n){
    pr ans = mp(a,b);
    pr x = mp(a,b);n--;
    while(n){
        if(n&1) ans = mul(ans,x,mod,B);
        x = mul(x,x,mod,B);
        n >>= 1;
    }return ans;
}

int main(){
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        LL n,p;
        pr x;
        scanf("%lld%lld%lld%lld", &x.fi, &x.se, &n,&p);
        LL tt = solve(x.fi,1,x.se,p,n).se;
        tt = (tt + p) % p;
        for(LL i = 2; i *i <= x.se; ++i)
            if(x.se%(i*i) == 0){
                while(x.se%(i*i) == 0){
                    x.se /=(i*i);
                    tt = tt * i % p;
                }
            }
        printf("1 %lld %lld\n",(tt%p+p)%p, x.se);
    }return 0;
}

代码二:

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    > Author: wood
    > Mail: cbcruel@gmail.com
    > Created Time: 2018年08月26日 星期日 08时49分26秒
 ************************************************************************/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<LL,LL> prir;
#define fii first
#define see second
#define mp make_pair

LL mod;

template <class T>
inline bool scan_d(T &ret) {
    char c; int sgn;
    if(c = getchar(),c == EOF) return 0; //EOF
    while(c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
    sgn = (c == '-') ? -1 : 1;
    ret = (c == '-') ? 0 : (c-'0');
    while(c = getchar(),c >= '0' && c <= '9') ret = ret * 10 + (c - '0');
    ret *= sgn;
    return 1;
}
inline void out(LL x) {
    if(x > 9) out( x / 10);
    putchar( x % 10 + '0');
}

struct mat{
    LL a[7][7];
    mat (){memset(a, 0, sizeof(a)); }
    mat operator *(const mat &q){
        mat c;
        for(int i = 1; i <= 2; ++i)
            for(int  k = 1; k <= 2; ++k)
            if (a[i][k])
        for(int j = 1; j <= 2; ++j){
            c.a[i][j] += a[i][k] * q.a[k][j];
            c.a[i][j] = c.a[i][j] % mod;
        }return c;
    }
};

mat qpow(mat x, LL n){
    mat ans;
    for(int i = 1; i <= 2; ++i)
        ans.a[i][i] = 1;
    while(n){
        if (n&1) ans = ans * x;
        x = x * x;
        n >>= 1;
    }return ans;
}

void Debug(mat t){
    printf("----------Debug-----------\n");
    for(int i = 1; i <= 2; ++i){
        for(int j = 1; j <= 2; ++j)
            printf("%lld ", t.a[i][j]);
        printf("\n");
    }printf("-------------------------\n");
}

int main(){
    int tt;
    LL A,B,n;
    mat t;
    scanf("%d", &tt);
    while(tt--){
        scanf("%lld%lld%lld%lld", &A,&B,&n,&mod);
        t.a[1][4] = A;
        t.a[1][5] = B;
        t.a[2][6] = 1;
        t.a[2][7] = A;
        mat ans = qpow(t,n-1);
        LL tmp = ans.a[2][8] + ans.a[2][9] * A;
        //Debug(ans);
        //printf("x=== %lld\n",tmp);
        tmp %= mod;
        for(LL i = 2; i * i <= B; ++i){
            if(B %(i*i) == 0){
                while(B %(i*i) == 0){
                    B /= (i*i);
                    tmp = tmp * i % mod;
                }
            }
        }printf("1 %lld %lld\n", tmp, B);
    }return 0;
}